バックアップ処理の成否をメールで通知することはできますか？

いいえ。バックアップ処理の成否をお客様に通知する機能はありません。

なお、テナント内のすべてのバックアップ対象サーバーのバックアップ成否、詳細情報（開始時刻、終了時刻、バックアップ対象データの容量など）を一覧で閲覧できるレポートの表示、及び外部ファイルへの出力は可能です。

参考：詳細情報 – バックアップ

また、Backupサービスにおいては以下APIを提供しておりますので、API機能を用いてバックアップジョブのステータスを取得することが可能です。

APIリファレンス – バックアップ – Get backup job status

上記APIでバックアップジョブの履歴を取得いただくことが可能です。
スケジュールされたバックアップが完了しそうな時間に上記APIを実施いただき、「State=Success」の場合に正常に完了したと判断いただければと存じます。

万が一、StateがSuccess以外の場合や、履歴に表示されない場合は、お手数ではございますが、GUIにアクセスして状況を確認いただければと存じます。
※上記APIは、処理完了したものしか表示されませんのでご留意ください。